wavelet transform

1.1 Wavelet – Based Transformation

การแปลงแบบเวฟเล็ต ได้รับอิทธิพลมาจาก วิธีการวิเคราะห์ของฟูเรียร์ ( Fourier analysis ) ซึ่งใช้วิเคราะห์สัญญาณที่ไม่ต่อเนื่องกัน แต่ความสามารถของฟูเรียร์นั้น ทำได้แค่เพียงหาว่ามีความถี่ใดเกิดขึ้นบ้างเท่านั้น จึงได้พัฒนาต่อเป็นฟูเรียร์แบบ Short Time ซึ่งสามารถทราบได้ว่ามีความถี่ใดเกิดขึ้น ณ ช่วงเวลาใดโดยการใช้ฟังก์ชั่น Window เพื่อนำมาใช้เทียบกับสัญญาณ แต่ความสามารถของฟูเรียร์แบบ Short time ก็ยังจำกัดอยู่ คือไม่ทราบได้ว่าความถี่ที่เกิดขึ้นนั้น เกิดขึ้นที่จุดใด จึงทำให้พัฒนากลายเป็นแนวคิดของการแปลงเวฟเล็ตขึ้น ซึ่งเป็นการวิเคราะห์เชิงมาตราส่วน (Scale) และศึกษาส่วนประกอบกับค่าความละเอียด (Resolution)

เวฟเล็ตเป็นฟังก์ชันหนึ่ง ซึ่งไม่ได้เป็นแนวคิดใหม่ แต่ใช้ฟังก์ชั่นที่มีใช้กันมาอยู่แล้วตั้งแต่ก่อนคริสต์ศักราช 1800 โดย Joseph Fourier ได้ค้นพบฟังก์ชันนี้ขึ้นมา โดยการวางค่า sines และ cosines เพื่อไปแทนที่ฟังก์ชันอื่นๆ อย่างไรก็ตามในการวิเคราะห์เชิงมาตราส่วน (Scale) ใช้อัลกอริทึม เวฟเล็ตในการจัดการข้อมูลที่มาตราส่วน (Scale) หรือความละเอียด (Resolution) ที่มีความแตกต่างกัน ถ้ามองที่สัญญาณหน้าต่างขนาดใหญ่จะสังเกตที่ลักษณะเด่นที่เห็นชัดเจน ในทำนองเดียวกัน ถ้ามองที่สัญญาณหน้าต่างขนาดเล็ก จะสังเกตที่ลักษณะเด่นเล็กๆ เช่นกัน

1.2 ความเป็นมา

Joseph Fourier เป็นผู้คิดค้นทฤษฎีเกี่ยวกับการวิเคราะห์ความถี่ขึ้น ก่อนคริสต์ศักราช 1930 และหลังปีคริสต์ศักราช 1870 นักคณิตศาสตร์ได้เปลี่ยนจากการวิเคราะห์เชิงความถี่มาเป็นการวิเคราะห์เชิงมาตราส่วน (Scale) คือ การวิเคราะห์ฟังก์ชัน f(x) โดยสร้างโครงสร้างที่มีมาตราส่วนที่แตกต่างกัน การประยุกต์โครงสร้างในการประมาณค่าสัญญาณและทดลองซ้ำกันไปเรื่อยๆ โดยการเปลี่ยนค่าต่าง ๆ เพื่อให้ได้การประมาณค่าที่แตกต่างกันออกไป แต่ผลที่ได้รับกลับมานั้น มีการตอบสนองน้อย เนื่องจากสิ่งรบกวนต่างๆ เช่น สัญญาณรบกวน (noise) เพราะมันจะคำนวณค่าเฉลี่ยของสัญญาณที่มีมาตราส่วนต่างกัน

เวฟเล็ตได้มีการกล่าวถึงครั้งแรกในวิทยานิพนธ์ของ Alfred Haar (ปี ค.ศ. 1909) โดยที่เขาสนใจพื้นฐานของฟังก์ชั่นสเปซ (Functional space) ซึ่งคล้ายกับฟังก์ชั่นพื้นฐานของ Fourier ในสเปซของความถี่ (Frequency space) ในเชิงฟิสิกส์ เวฟเล็ตจะถูกใช้ในการหาลักษณะของ Brownian motion ็ คุณสมบัติหนึ่งของเวฟเล็ต Haar คือ จะมีการสนับสนุนที่มีความกระชับ แต่เวฟเล็ต Haar ไม่สามารถหาความแตกต่างที่ต่อเนื่องกันได้ ซึ่งมีอะไรบางอย่างจำกัดวิธีใช้ของพวกมัน

1.3 Wavelet History

ประวัติความเป็นมาของเวฟเล็ต

ในประวัติศาสตร์ทางวิชาคณิตศาสตร์นั้น การวิเคราะห์ด้วยเวฟเล็ตได้แสดงถึงแห่งกำเนิดที่แตกต่างกันมากมาย ซึ่งงานส่วนใหญ่ที่ใช้เวฟเล็ตเพื่อการวิเคราะห์นั้น จะเกิดขึ้นในปี ค.ศ. 1930 และในขณะเดียวกัน ความพยายามในการที่จะวิเคราะห์อกมานั้น ไม่ได้ปรากฏไว้ในส่วนทฤษฎีอย่างต่อเนื่องกัน

ก่อนปีคริสต์ศักราช 1930

ก่อนคริสต์ศักราช 1930 วิชาคณิตศาสตร์ได้นำไปสู่การเริ่มต้นของเวฟเล็ต ซึ่ง Joseph Fourier (ค.ศ.1807) เป็นผู้คิดค้นทฤษฎีเกี่ยวกับการวิเคราะห์ความถี่ขึ้นมา และได้มีการกล่าวถึง Fourier Transform อยู่บ่อยครั้ง หลังปีคริสต์ศักราช 1870 ในความหมายของฟังก์ชันนั้น อนุกรมฟูเรียร์ที่มีลักษณะคล้ายกันและระบบมุมฉาก นักคณิตศาสตร์ค่อยเปลี่ยนจากการวิเคราะห์ความถี่มาเป็นการวิเคราะห์มาตราส่วน (Scale) คือ การวิเคราะห์ฟังก์ชัน f(x) โดยสร้างโครงสร้างที่มีมาตราส่วนที่แตกต่างกัน ซึ่งฟังก์ชันที่สร้างขึ้นมา ซึ่งจะย้ายฟังก์ชัน โดยจำนวนบางจำนวนและเปลี่ยนมาตราส่วนของมัน การประยุกต์โครงสร้างในการประมาณค่าสัญญาณและทดลองซ้ำกันไปเรื่อยๆ โดยการเปลี่ยนค่าต่าง ๆ เพื่อให้ได้การประมาณค่าที่แตกต่างกันออกไป แต่ผลที่ได้รับกลับมานั้น มีการตอบสนองน้อย เนื่องจากสิ่งรบกวนต่างๆ เช่น สัญญาณรบกวน (noise) เพราะมันจะคำนวณค่าเฉลี่ยของสัญญาณที่มีมาตราส่วนต่างกัน

เวฟเล็ตได้มีการกล่าวถึงครั้งแรกในวิทยานิพนธ์ของ Alfred Haar (ปี ค.ศ. 1909) ในส่วนของภาคผนวก คุณสมบัติหนึ่งของเวฟเล็ต Haar คือ จะมีการสนับสนุนที่มีความกระชับ แต่เวฟเล็ต Haar ไม่สามารถหาความแตกต่างที่ต่อเนื่องกันได้ ซึ่งมีอะไรบางอย่างจำกัดวิธีใช้ของพวกมัน

คริสต์ศักราช 1930

ในคริสต์ศักราช 1930 ได้มีกลุ่มผู้ทำงานอิสระหลายกลุ่มวิจัยการแสดงของฟังก์ชัน โดยใช้มาตราส่วนที่แตกต่างกันในฟังก์ชันพื้นฐาน ซึ่งเรียกว่า Haar Basis Function Paul Levy

Pual Levy ได้ค้นพบวิธีการของ Brownian ซึ่งเป็นรูปแบบในการสุ่มสัญญาณ และได้พบว่าฟังก์ชัน Haar นั้น เป็นฟังก์ชันที่ดีกว่าฟังก์ชันฟูเรียร์ เพื่อการศึกษาหารายละเอียดที่ซับซ้อนยุ่งยากในวิธีการของ Brownian

นักวิจัยคนอื่นๆ เช่น Littlewod, Paley, และ Stein ซึ่งพยายามคิดค้นเกี่ยวกับการคำนวณหาค่าพลังงานของฟังก์ชัน f(x) ซึ่งมีอัลกอริทึม ดังนี้

ในการคำนวณนั้นได้เกิดผลลัพธ์ที่แตกต่างกันมากมาย ถ้าพลังงาน (Energy) มีค่ามากอยู่รอบๆ จุดเล็กๆ หรือกระจายออกไปในพื้นที่ที่กว้างกว่า เนื่องจากผลลัพธ์ที่ได้ออกมาไม่มีแบบแผนที่แน่นอน จึงทำให้นักวิทยาศาสตร์ต้องหาวิธีการคำนวณเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่แน่นอน นักวิจัยได้ค้นพบฟังก์ชันซึ่งสามารถผันแปรมาตราส่วน (scale) และสามารถรักษาพลังงานได้ เมื่อมีการคำนวณหาพลังงาน David Marr ได้ค้นพบอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับจัดการกระบวนการของรูปภาพ โดยใช้เวฟเล็ตในการวิเคราะห์ในต้นคริสต์ศักราช 1980

คริสต์ศักราช 1960 – 1980

ในช่วงปีคริสต์ศักราช 1960 – 1980 นักคณิตศาสตร์ 2 คน คือ Guido Weiss และ Ronald R. Coifman ได้ศึกษาเกี่ยวกับส่วนประกอบเบื้องต้นของฟังก์ชันสเปซ เรียกว่า Atoms เป้าหมายของการค้นหา Atoms สำหรับฟังก์ชันธรรมดาและการค้นหา Assembly Rules ซึ่งยินยอมให้มีการสร้างส่วนประกอบทั้งหมดของฟังก์ชันสเปซใหม่อีกครั้ง

ในปีคริสต์ศักราช 1980 Grossman และ Morlet นักฟิสิกส์และวิศวกรได้อธิบายเวฟเล็ต โดยการนำ Atoms เหล่านี้มาใช้ในด้านที่เกี่ยวกับฟิสิกส์ ซึ่งได้จัดเตรียมวิธีการคิดที่เป็นฐานความรู้ทางด้านฟิสิกส์ต่อไป

หลังปีคริสต์ศักราช 1980

ในปีคริสต์ศักราช 1985 Stephane Mallat ได้นำเวฟเล็ตมาใช้ในงานของเขาเกี่ยวกับการดำเนินการสัญญาณดิจิตอล เขาได้ค้นหาความสัมพันธ์บางอย่างระหว่าง quadrature mirror filters อัลกอริทึมปิรามิดและคุณลักษณะของเวฟเล็ต Y. Meyer ได้สร้างเวฟเล็ตตัวแรก ซึ่งมีลักษณะราบเรียบขึ้น ไม่เหมือนกับเวฟเล็ต Haar เวฟเล็ต Meyer เป็นเวฟเล็ตที่มีความแตกต่างกันอย่างต่อเนื่อง